圖2-1  質量守恒的微元體

將質量守恒定律應用到高溫流體流動中（如圖2-1）所示，即得連續性方程：

在不(bu)穩定流(liu)(liu)(liu)動時，流(liu)(liu)(liu)入(ru)的流(liu)(liu)(liu)體(ti)(ti)質(zhi)(zhi)量與流(liu)(liu)(liu)出(chu)的流(liu)(liu)(liu)體(ti)(ti)質(zhi)(zhi)量之差應等于(yu)封閉空間中流(liu)(liu)(liu)體(ti)(ti)質(zhi)(zhi)量的變化(hua)；而在穩定流(liu)(liu)(liu)動時則流(liu)(liu)(liu)入(ru)流(liu)(liu)(liu)體(ti)(ti)質(zhi)(zhi)量必然等于(yu)流(liu)(liu)(liu)出(chu)的流(liu)(liu)(liu)體(ti)(ti)質(zhi)(zhi)量，其數學表達式即為連續性方程。在直(zhi)角坐標系中

不穩定流(liu)動(dong)時

（2-1）

穩(wen)定流動時，則

對于不可壓縮流體，ρ=const，則連續性方程為

用ρu的散度divpu或 pu表示上式左邊的三項之和則，

div u=▽·u=0

在柱坐標系中

不穩(wen)定(ding)流動時(shi)

（2-2）

穩定流動時

（2-2a）

對于不可壓縮流體，ρ=const，則連續性方程為

（2-2b）

直角坐(zuo)標和柱坐(zuo)標之間的換算公(gong)式如下(xia)：

（2-3）

連續性(xing)方程表示了流體(ti)運動時，其速度與密度之(zhi)間的(de)關系。

二、能量方程(cheng)

根據能量守恒定律、加到流體中的熱能q和壓力所作的功之和，等于流體對外所作的機械功W、克服摩擦所消耗的功Wf以及動能(neng)，位能（gZ2-gZ1）和內能增量cu（T2-T1）之和。能量方程的數學表達式則為

（2-4）

其微(wei)分形(xing)式為

（2-4a）

式中(zhong)，而

兩者之和為（i2-i1）

三、粘性流體運(yun)動(dong)方程

根據牛頓第二定律，考慮到流體的粘性剪切力即可得不可壓縮粘性流體運動微分方程式，該式又稱為納維—斯托克斯方程，簡稱N-S方程，這是流體動力學基本方程之一，在直角坐標系中表示為（見圖2-2）。

（2-5）

方程組中左(zuo)(zuo)邊(bian)(bian)*項(xiang)為單位質量力(li)；左(zuo)(zuo)邊(bian)(bian)第(di)(di)二項(xiang)為壓力(li)，第(di)(di)三項(xiang)為摩擦(ca)力(li)，合稱(cheng)為表(biao)面力(li)；右邊(bian)(bian)為慣性力(li)。

在(zai)柱坐標系中(zhong)則表示(shi)為(wei)

（2-）

圖2-2  粘性流體運動分析

式中一直(zhi)角(jiao)坐標拉(la)普拉(la)斯(si)算子

一柱坐標用拉普拉斯算子；

一歐拉系數。

對于可壓縮流體，考慮氣體的可壓縮性、N-S方程具有下列形式：對于直角坐標為

（2-6）

對于柱坐標系則表示為(wei)：

（2-6a）

N-S方程是粘性流體zui一般性的方程。加上連續性方程共有四個方程式，當邊界條件和初始條件確定后，原則上可求解不可壓縮粘性流體運動問題中的四個未知數ux、uy、uz和p。許多層流問題，如園管層流、平行平面間層流、同心園環間層流都可以用N-S方程求出解，而且流體潤滑問題也可用N-S方程求近似解。